Les carrés magiques :

• Ces carrés sont composés de deux diagonales principales et de "n" ligne et "n" colonnes totalisant "n²" de cellules dans lesquelles sont placés "n²" de nombres entiers naturels strictement positifs.
  
  
• Dans les carrés magiques normaux (ordinaires - simplement magiques) le remplissage des (n²) cellules du carré se fait par "n²" premiers nombres entiers strictement positifs consécutifs commençants par [1] jusqu'à [n²], donc sans doublons numériques (des nombres entiers tous différents) et sans zéro ou nombres négatifs.
  
  
• La qualification "magique" vient du fait que la somme (S) des nombres figurant sur chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale principale est toujours la même.
  
  
• La somme constante (S) dans chacune des lignes, colonnes et diagonales principale est appelée : somme magique - constante magique ou densité.
  
  
• Dans le carré magique normal respectant les conditions précédentes, la constante magique est calculée par la formule suivante :
  
  Constante magique = n(n² + 1)/2.
  Exemple : 15 pour carré magique normal d'ordre 3, et 34 s'il s'agit d'un carré magique normal d'ordre 4.
  
  
• La somme de la totalité des nombres de (n²) cellules dans le carré magique normal est égale à [n²(n²+1)/2].
  Exemple : 45 pour carré magique normal d'ordre 3, et 136 s'il s'agit d'un carré magique normal d'ordre 4.
  
  
• Classification des carrés magiques :
  
  
  • Carré magique d'ordre impair (carré magique impair).
    
    
  • Carré magique d'ordre pair (carré magique impair).
    
    
  • Carré magique d'ordre pairement pair : pair est divisible par 4.
    
    
  • Carré magique d'ordre impairement pair (pairement impair) : pair est divisible par 2 et non par 4.
    
    
  • Carrés magiques symétriques : la somme de deux éléments situés symétriquement par rapport au centre est égale à (n² + 1).
    Ces carrés magiques symétriques possèdent une cellule centrale occupée par un nombre égal à (n²+1)/2.
    Exemple : 5 pour carré magique normal d'ordre 3, et 13 s'il s'agit d'un carré magique normal d'ordre 5.
    
    
  • Carré est bi-magique (2-multimagique) ou « satanique » : c’est un carré magique normal qui reste magique lorsqu’on élève chacun de ses éléments à la puissance deux.
    
    
  • Carré est tri-magique (3-multimagique) : c’est un carré magique normal qui reste magique lorsqu’on élève chacun de ses éléments à la puissance trois.
    
    
  • Carré « diabolique » ou « pandiagonal » ou « panmagique » : c'est un carré magique normal ayant cette particularité supplémentaire : il reste magique après une permutation des lignes ou des colonnes, par exemple si l’on divise ce carré en deux rectangles égaux ou inégaux, par une ligne verticale ou horizontale, le carré reste magique après l’échange des deux fragments du carré. D'autre propriété : la somme des nombres sur toutes les diagonales brisées est égale à la somme magique (S).
    
    C'est le cas du carré magique du temple de Khajuraho en Inde (vers 1100 AP J.C.).
    

Il s'agit d'un carré magique normal d'ordre 4, et un carré diabolique : les sommes de chaque diagonale brisée (16, 13, 1, 4), (11, 10, 6, 7), (5, 8, 12, 9) ; (15, 3, 2, 14) sont toutes égales à la constante magique de ce carré magique qui équivaut à 34.


• Un carré magique « apocalyptique » est un carré constitué de nombres premiers et dans lequel la somme commune (S) est égale à 666.
  À noter que dans le carré du Soleil, comme pour tous les autres carrés magiques normaux d'ordre 6, la somme de tous les nombres occupant leurs 36 cellules est égale à [n²(n²+1)/2], soit = 6²(6²+1)/2 = 666.
  
  
  
• Carré semi-magique : la somme des nombres d'au moins une diagonale n'est pas égale à la constante magique S.
  
  
• Les carrés magiques alyoniques d'ordre pair et impair :
  Ce sont des carrés magiques (non ordinaires) construits par symétrie orbitale autour d'un centre de symétrie (C) qui est le cœur de ces carrés.
  
  Quand il s'agit d'un carré magique d'ordre impair, C = E +(n² + 1)/2.
  Quand il s'agit d'un carré magique d'ordre pair, C = E + (n²)/2.
  Sachant que E = l'écart orbitaire (un nombre entier strictement positif) choisi par l'utilisateur au début de la construction du carré alyonique.
  
  La constante magique dans les carrés alyoniques est égale à {n[E + (n² + 1) / 2]}.
  
  Les nombres entiers positifs et successifs utilisés pour remplir les cellules de ces carrés magiques non ordinaires ne commencent pas par le (1), parce que le premier nombre entier équivaut à (E + 1) et le dernier équivaut à (E + n²).
  

• Histoire des carrés magiques :
  

  • Les plus anciennes traces des carrés magiques remontent au début de notre ère en Chine : il s'agit d'un carré magique d'ordre 3 connu sous le nom de (Lo Shu). D'autres carrés magiques d'ordre supérieur apparaissent en Chine et en Inde dès le XIII siècle. Les Arabes, dès le VIIIème siècle développèrent utilisèrent les carrés comme étant des structures de calculs mathématiques.
    
    
  • Le carré magique Lo Shu d'ordre 3 a une seule forme construite avec les neuf premiers nombres naturels, puis les sept autres formes sont obtenues par une simple rotation ou inversion (réflexion) de ce même carré.

• Le Kuberakolam (un ancien carré magique indien d'ordre 3) : il résulte de l'ajout de 19 dans chaque cellule du carré magique normal (Lo-Shu).