Soient «P» un point du secteur angulaire saillant entre deux demi-droites (Ox,Oy) et Δ est une droite variable passant par P et coupant respectivement Ox, Oy en M et en N.

La droite Δ de Philon est la seule droite où le segment (MN) ait une longueur minimum.

Dans cette illustration, la droite de Philon passant par «P» est déterminée en projetant de P, deux perpendiculaires, la première sur la droite Ox qui la coupe en B, et la deuxième est projetée sur Oy en la coupant en C.

Dans ces conditions, la droite de Philon Δ à laquelle appartient le segment (MN) est celle qui passe par «P» tout en étant parallèle au segment (BC).

 Calcul de la longueur de MN minimal = |MN|_min : 

θ = Thêta = l'angle du secteur( Ox,Oy) (en degrés ou en radians).
α = l'angle entre Ox et OP.
(x,y) = les coordonnées du point P sur Ox et Oy.
|MN|_min = le segment dont la longueur est minimale et qui passe par P tout en coupant Ox,Oy en MN ; il s'agit du segment recherché de la droite Δ de Philon.

x = OP cos(α)
y = OP sin(α)

s = terme de projeté sur Oy = xcos(θ) + ycos(θ).

||BC|| = longueur BC (direction optimale) = √[s² + x² - 2sxcos(θ)]

tn - tm = facteur scalaire = {[xsin(θ) - ycos(θ)] / xsin(θ)} + [(y / ssin(θ)]

|MN|_min = (tN - TM) x ||BC||.

Exemple de calcul :

θ = 57°
α = 25°
OP = 15

Coordonnées de P :
x = OP cos(α) = 13.5946168055497.
y = OP sin(α) = 6.33927392611049.

s = xcos(θ) + ysin(θ) = 7.40415897837366 + 5.3165624639727 = 12.7207214423464.

||BC|| = √[s² + x² - 2sxcos(θ)] = √[346.630360103505 - 188.372487757479] = √158.257872346027 = 12.5800585191813.

tn - tm = {[xsin(θ) - ycos(θ)] / xsin(θ)} + [(y / ssin(θ)] = 0.697176266027994 + 0.594205098113675 = 1.29138136414167.
|MN|_min = (tN - tM) x ||BC||= 1.29802542115721 * 12.5800585191813 = 16.2456531314824 ~ 16.246.